By Fred Böker, Stefan Sperlich, Walter Zucchini

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18 ] Nehmen Sie an, dass Sie drei Gl¨uhbirnen einer bestimmten Sorte gekauft haben. Der Hersteller hat auf der Packung eine Dichtefunktion angegeben mit drei Bereichen, in denen er die Brenndauern der Gl¨uhbirnen mit kurz, mittel bzw. lang bezeichnet. Er gibt dazu jeweils die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an. 16 1400 1600 1800 32 B¨oker, Sperlich, Zucchini Nehmen Sie an, dass die Brenndauern der drei Gl¨uhbirnen unabh¨angig verteilt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Gl¨uhbirnen a) nur kurz brennen?

Berechnen Sie jeweils die zugeh¨orige Wahrscheinlichkeit. i) Ihre Lieblingsziffer, die 24, wurde bei 10 Ziehungen nur einmal gezogen. ii) Die 49 wurde nicht gezogen. iii) Die 21 wurde viermal gezogen. e) Welche Verteilung verwenden Sie, um die Wahrscheinlichkeiten in d) zu bestimmen? Geben Sie die Parameter, den Erwartungswert und die Variannz an. 3127 a) Durch welche diskrete Verteilung mit zwei Parametern k¨onnen Sie die hier gegebenen Verteilung approximieren? b) Berechnen Sie die obigen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der approximativen Verteilung.

H. X = Y − 1 ist poissonverteilt mit dem Parameter λ = 1/2. Bestimmen Sie a) P(Y = 1) = P(X = 0) b) P(Y = y) = P(X = y − 1) f¨ur y = 2, 3, . . 6 c) P(Y ≤ t) f¨ur t = 1, 2, . . , 6 d) P(Y > s) f¨ur s = 1, 2, . . , 6 e) P(Y ≥ s) f¨ur s = 1, 2, . . , 6 f) EY und Var(Y ). h. PX0 (x) = λ x −λ x! e 0 x = 0, 1, 2, . . sonst Stellen Sie sich vor, dass Sie den Wert dieser Zufallsvariablen nur beobachten k¨onnen, wenn er gr¨oßer als 0 ist. B. die Besucher des Weihnachtsmarktes fragen: Wie oft besuchen Sie in diesem Jahr den Weihnachtsmarkt?

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