By Christian P. Robert

Cet ouvrage couvre l'approche dite bay?sienne de l'inf?rence statistique et en particulier ses elements d?cisionnels. Les bases de cette axiomatique (choix de l'a priori, d?cisions optimales, checks et r?gions de confiance) sont abord?es en d?tail, ainsi que des ouvertures plus r?centes de l'analyse bay?sienne comme le choix de mod?les, l'utilisation de m?thodes num?riques stochastiques d'approximation (MCMC), los angeles th?orie des lois non informatives (axiomes de Berger-Bernardo) et l. a. relation ? los angeles th?orie classique de l'admissibilit?. Chaque chapitre est compl?t? par une suite wide d'exercices de tricky? croissante et par des notes bibliographiques sur les th?mes abord?s. l. a. model anglaise de cet ouvrage, The Bayesian selection, a ?t? publi?e en 2001 par Springer ny. L’auteur a obtenu le Prix DeGroot 2004 d?cern? par l'International Society for Bayesian research. Le comit? de s?lection a estim? que : « Le livre de Christian Robert ?tablit un nouveau general moderne de livre de r?f?rence sur le th?me des m?thodes bay?siennes, en particulier celles utilisant les strategies MCMC, ce qui position l’auteur en digne successeur des ?crits de DeGroot et Berger ».

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En effet, la Statistique num´erique16 est actuellement en train de subir un d´eveloppement tr`es rapide et elle nous permet de rejeter la notion de distribution a priori choisie pour la simplicit´e des calculs, mˆeme si nous pouvons toujours compter sur ces distributions particuli`eres pour pr´esenter les exemples de fa¸con claire et simple dans cet ouvrage. Au contraire, il est encourageant de voir que nous nous approchons de l’objectif de fournir un outil statistique plus performant et plus efficace grˆace `a ces nouvelles techniques de calcul qui permettent l’utilisation de distributions a priori plus complexes et aussi plus repr´esentatives de l’information a priori.

21. , n, x 1 pα−1 (1 − p)β−1 , 0 ≤ p ≤ 1. π(p) = B(α, β) f (x|p) = La distribution jointe de (x, p) est alors ϕ(x, p) = n x B(α, β) pα+x−1 (1 − p)n−x+β−1 et la distribution marginale de x est n x B(α + x, n − x + β) B(α, β) n Γ (α + β) Γ (α + x)Γ (n − x + β) = , x Γ (α)Γ (β) Γ (α + β + n) m(x) = puisque la distribution a posteriori de p est π(p|x) = pα+x−1 (1 − p)β+n−x−1 , B(α + x, β + n − x) qui est une loi bˆeta Be(α + x, β + n − x). Parmi ces distributions, le concept fondamental du paradigme bay´esien est la distribution a posteriori.

2, il est tentant de consid´erer la vraisemblance comme une densit´e g´en´eralis´ee en θ, dont le mode serait alors l’estimateur du maximum de vraisemblance, et de travailler avec cette densit´e comme une distribution ordinaire. 12). 1) pour tenter de circonvenir la d´etermination de la distribution a priori lors de la mise en pratique du principe de vraisemblance, le choix de cette distribution ´etant subjectif (puisque ne d´ependant que de la distribution des observations). 25), puisqu’il entraˆıne en g´en´eral des paradoxes et des contradictions.

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