By Dr. Michael Kaplan (auth.)

Unter Computeralgebra versteht guy den Grenzbereich zwischen Algebra und Informatik, der sich mit Entwurf, examine, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen befasst. Entsprechend dieser Sichtweise stellt der Autor einige Computeralgebra-Systeme vor und zeigt an Beispielen deren Leistungsfähigkeit. Grundlegende Techniken, wie etwa das Rechnen mit großen ganzen Zahlen, werden untersucht. Für komplexe Fragestellungen wie das Faktorisieren von Polynomen, werden mehrere Algorithmen angeboten, da diese verschiedene Stärken haben. Häufig ist der vermeintliche Umweg über andere mathematische Strukturen der schnellste Weg. In den ersten Kapiteln werden die nötigen mathematischen Grundlagen zur Verfügung gestellt. Die folgenden Kapitel können dann weitestgehend unabhängig voneinander gelesen werden. Alle vorgestellten Algorithmen werden begründet und teilweise in einer Pseudoprogrammiersprache dargestellt. Das Buch richtet sich gleichermaßen an Studierende der Mathematik und der Informatik.

Weitere Informationen zum Buch unter: http://www.ma.tum.de/~kaplan/CA-Buch/

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Somit ist der Koeffizient von xk+ in f · g nicht in P , also f · g ∈ P [x] . 7 Hilfssatz: Sind f und g zwei von Null verschiedene primitive Polynome aus R[x] , so ist auch das Produkt f · g primitiv. 4 Ideale 29 Beweis: Nimmt man das Gegenteil der Behauptung an, so ist Inh(f · g) keine Einheit und somit eindeutig in Primelemente zerlegbar (R ist faktoriell vorausgesetzt). h. f · g ∈ p [x] . Da nach dem vorhergehenden Hilfssatz p [x] ein Primideal von R[x] ist, folgt f ∈ p [x] oder g ∈ p [x] , was ein Widerspruch zur Primitivit¨ at von f und g ist.

Xnr r ) ∂xj 1 und erweitert diese Definition auf R[x1 , . . , xr ] durch lineare Fortsetzung. Wegen der Linearit¨ at der partiellen Ableitung reicht es, wenn man den Satz f¨ ur einen einzelnen Term einsieht. Nach dem binomischen Satz gilt n1 −1 nr −1 r 1 (x1 +y1 )n1 ·. ·(xr +yr )nr = (xn y1 +y12 ·p1 )·. ·(xn yr +yr2 ·pr ) r +nr xr 1 +n1 x1 mit Polynomen p1 , . . , pr ∈ R[x1 , . . , xr ][y1 , . . , yr ] . Multipliziert man dies aus, so erh¨ alt man ⎛ (xn1 1 · . . · xnr r ) + ⎝ ⎜ 2 ⎝pj yj + j=1 nj · (xn1 1 · .

2 durch Division mit Rest twi ui = qi v + ri mit deg ri < deg v oder ri = 0 reparieren. Es gilt also Folgerung: Zu u1 , . . 2 und t ∈ K[x] mit deg(td) < deg v gibt es w1 , . . , wk ∈ K[x] mit w1 u1 + w2 u2 + . . + wk uk = td ur i = 1, . . k . 4 Beispiel: u1 , . . 3 gegeben. Weiterhin sei t = 2x4 + 2x2 + 4 ∈ ❩13 [x] . Wegen deg d = 0 und deg v = 6 ist also die Voraussetzung deg(td) < deg v erf¨ ullt. Aus der L¨ osung tw1 = 9x4 + 9x2 + 5 tw3 = 2x4 + 2x2 + 4 tw2 = 4x4 + 4x2 + 8 tw4 = 10x4 + 10x2 + 7 (mit den L¨ osungen w1 , .

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