By Dirk Ferus

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Erst recht FALSCH. Der Grenzwert der Folge ( n1 ) geht nicht gegen 0, er ist 0. Grenzwerte sind bereits angekommen! 2 Rechenregeln fu ¨ r konvergente Folgen Der Nachweis der Konvergenz einer Folge ist oft m¨ uhsam. Insbesondere deshalb ist es n¨ utzlich zu sehen, wie sich Folgen verhalten, die aus einfacheren“ konvergenten Folgen ” zusammengesetzt sind. Satz 76. Seien (xn ) und (yn ) konvergente Folgen mit den Grenzwerten lim xn = a, lim yn = b. Dann gilt: (i) Die Folge (xn + yn ) ist konvergent und lim(xn + yn ) = a + b.

096 10−21 . Tats¨ achlich kann man zeigen, dass xn := ( p − n 2k ) , p und diese Folge ist offensichtlich divergent. B. auf ein bestimmtes Monotonieverhalten), denen man dann aber rigoros nachgehen muss: Der Rechner liefert Vermutungen, keine Beweise. 45 Schlussbemerkung: Sprache und Verst¨ andnis. Der Begriff der Konvergenz unendlicher Folgen ist nicht so einfach, und eine falsche sprachliche Formulierung erschwert sein Verst¨ andnis oder dokumentiert fehlende gedankliche Bew¨altigung. Hier einige (¨ofter anzutreffende) Beispiele falscher Behauptungen: Die Folge (xn ) konvergiert gegen a, wenn ...

Fall: Es gibt unendlich viele dominante xn . Dann lassen wir alle andern weg und bekommen eine (nicht notwendig streng) monoton fallende Folge. 2. Fall: Es gibt nur endlich viele dominante xn . Dann lassen wir zun¨achst den Anfang der Folge bis zum letzten dominanten weg. h. zu jedem Glied gibt es ein gr¨oßeres nachfolgendes. Also k¨onnen wir eine (streng) monoton wachsende unendliche Teilfolge ausw¨ahlen. 3 Noch einmal Vollst¨ andigkeit Wie entscheidet man, ob eine gegebene Folge konvergent ist, wenn man den Grenzwert nicht kennt?

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